Histoire de la numération

Numération additive:
La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre de grandeur.

un bâton évoque l'unité,
une anse de panier: il comptent environ 10 objets,
une rouleau de papyrus: on peut y écrire environ 100 hiéroglyphes,
une fleur de lotus: on les trouve par milliers,
un doigt montrant le ciel nocturne: on y voit près de 10 000 étoiles,
un tétard: on en trouve de l'ordre de 100 000 au bord du nil après la ponte,
un dieu agenouillé supportant le ciel: le dieu est éternel et 1 million d'années est synonyme d'éternité).

On additionne les valeurs de tous les signes utilisés pour écrire le nombre.
2964.gif (2487 octets)
On peut vérifier que ce nombre est 2964.

Écrire les nombres 321 et 2002 en numération égyptienne.

Les chiffres:
num_egyp.gif (2100 octets)

Numération de position:
Un exemple actuel: la numération décimale moderne utilisant les chiffres arabes.
La valeur représentée par un chiffre dépend de sa position.
3 344 = 3 x 10³
         + 3 x 10²
         + 4 x 10¹
         + 4 x 10⁰
C'est pourquoi on parle de numération de position. On fait ainsi l'économie de l'écriture de nombreux signes.

Les chiffres:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Numération romaine:
La numération romaine permettait d'écrire les neufs premiers chiffres ainsi:
rom_1-9.gif (1612 octets)

On remarque l'écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf. Ce n'est qu'au Moyen-Age qu'on a écrit les chiffres romains en utilisant des différences telles que IX (neuf), XC (quatre-vingt dix)...
Avec les chiffres romains, on peut écrire de façon purement additive.
Ils sont plus simples et plus lisibles que les chiffres égyptiens.

Signes employés:
num_rom.gif (2428 octets)

Numération savante chinoise:
Cette numération à base dix était utilisée pour les mathématiques. Elle comporte neuf chiffres, le zéro étant indiqué par une case vide (espace). Il existe deux sortes de chiffres (voir ci-contre) selon le rang.
Ainsi, 1987 s'écrit

et 2026 s'écrit

On pourrait reprocher à ce système de numération un risque d'erreur, si l'espace est oublié. L'alternance des deux types de chiffres évite cette ambiguïté. Toutefois, le risque existe si deux zéros se suivent, mais il est impossible de ne pas remarquer le double espace.
Il faut remarquer que les nombres s'écrivaient au départ dans des cases;

ex_ch3.gif (1549 octets)

ces abaques ont ensuite disparu.

Colonne 1: chiffres de rangs impairs, utilisés pour les unités, les centaines, ...
Colonne 2: chiffres de rangs pairs, utilisés pour les dizaines, les milliers, ...

num_chin.gif (1946 octets)

Le boulier permet d'afficher les nombres selon cette même logique.

Questions :

1) Ecrire les nombres 1948 et 2001 en numération romaine.

2) Traduire les nombres suivant en numération actuelle : et

3) Lire les nombres suivants: et

4) Ecrire en numération savante chinoise, les nombres suivants : 3962, 640, 64 et 6400.

La base vingt
Les Mayas ont adapté leur système de numération à leur calendrier. Leur numération est à base vingt, comme leurs mois qui comptaient vingt jours. Ci-dessous les chiffres de 1 à 19 ainsi que le chiffre zéro:

num_maya.gif (2531 octets)

Les Mayas écrivaient leurs nombres de haut en bas:

Le nombre 20 s'écrit donc ainsi:

1) Combien de signes sont utilisés pour écrire les chiffres de 0 à 19?
2) Que représentent les trois nombres ci-après écrits en base vingt? Rappel: en base dix, 462 = 4 x 10² + 6 x 10¹ + 2 x 10⁰

400

8000

combien?

L'influence du calendrier

Rappelons que le mois (uinal) comptait vingt jours ....
les années (tun) comptaient 360 jours (on rattrapait les jours manquants en fin d'année);
1 katun comportait 20 années (tun);
1 baktun comportait 20 katun.

La numération maya étant utilisée pour le calendrier, il advint que le nombre représentant une date correspondait exactement aux subdivisions du calendrier. Ainsi, le chiffre d'ordre 3, (ici 7) était à multiplier par 360 au lieu de 400:

cal_num.gif (1927 octets)

Cette date peut donc être calculée en jours.

3) Quel serait le nombre de jours correspondant à la date ci-contre (à gauche), si on utilisait réellement la base vingt?

4) Quel est le nombre de jours correspondant à cette date en tenant compte des subdivisions du calendrier maya?
Remarque: les dates mayas partent de 3113 avant notre ère. Cette date semble être la point de départ du Monde pour les Mayas.

Un exemple d'écriture maya (glyphe) : glyphe_m.gif (1610 octets)

Il y a 4000 ans, en Mésopotamie est apparu le premier système de numération. On a retrouvé des jetons en terre cuite dont les valeurs (1, 10, 60, 600, 3600 et 36000) permettaient de réaliser tous les nombres entiers. La numération écrite est ensuite apparue avec l'écriture, vers 3300 av JC. Elle permettait de gérer les troupeaux, les récoltes, les hommes, les superficies des terres. Les formes utilisées étaient le petit cône, la sphère, le grand cône, le cône perforé et la sphère perforée.
Cette numération additive, sumérienne à l'origine, utilisait des petits clous, des grands clous, des chevrons. La confusion possible entre grands clous et petits clous la fit évoluer vers une numération de position.
Lorsque la numération de position fut inventée, la nécessité du zéro se fit sentir. Il fallut tout de même un millénaire et demi pour parvenir à la numération de position à base soixante avec zéro. Cette numération ne comporte que trois signes: le un, le dix et le zéro.
Les nombres, en Mésopotamie, étaient écrits sur des plaques d'argile fraîche. Les scribes utilisaient une tige de roseau taillée appelée calame. Par séchage au soleil, on obtient ainsi des tablettes dont la conservation est excellente. On en a retrouvé de grandes quantités. calame	Le nombre à trois chiffres ci-dessus (base 60) se traduit en numération décimale par: 5 x 60² + 3 x 60¹ + 31 x 60⁰ = 18 211
1) Traduire en numération décimale le nombre ci-contre. 2) Écrire en numération babylonienne le nombre 155. 3) Écrire le nombre 72000 en numération babylonienne. Quel inconvénient présentait l'écriture de ce nombre avant que le zéro ne soit inventé?
L'héritage des babyloniens. L'astronome grec Hipparque introduisit en Grèce (2^ème siècle av JC), la division du cercle en 360 degrés, chaque degré étant divisé en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes. Nous avons conservé ce vestige de la base soixante des Babyloniens, par l'intermédiaire d'Hipparque.

Au départ, l'Homme du fait de l'élevage et de l'agriculture, fut conduit à dénombrer ses animaux et ses récoltes. Il trouva des moyens simples, tels que des encoches sur des bâtons ou des os ou bien encore des noeuds sur des cordes.
Ensuite, il imagina des calculs à l'aide de jetons d'argile de valeurs différentes.
Ces jetons furent ensuite représentés par des symboles sur des plaquettes d'argile. C'est l'invention des chiffres. Les symboles s'additionnent. Les moyens d'écriture sont simples. Un roseau coupé laisse son empreinte dans l'argile fraîche.
On passe ensuite à une numération de position qui permet d'écrire des nombres aussi grand que l'on veut. Enfin, le zéro est inventé, permettant une numération sans ambiguïté.
Les chiffres deviennent des symboles individuels et non un assemblage de signes, grâce à la numération indienne. Cette dernière évolue progressivement en passant par le Moyen-Orient, le Maghreb et l'Espagne maure pour arriver aux chiffres actuels.

Date	Asie	Amérique	Europe	Moyen-Orient / Egypte
- 30 000			Entailles numériques sur des os ou de la corne.
- 8 000				Mésopotamie: Usage des calculi: jetons d'argile ayant une valeur attribuée et permettant de représenter un nombre.
- 3 300				Mésopotamie: Création des chiffres cunéiformes pour compter les animaux, les hommes et pour chiffrer les récoltes.
- 2 000 (env)				Egypte: Usage de la numération additive à base dix.
- 1 800				Babylone: Première numération de position (base 60).
- 1 300	Invention des chiffres en Chine.
- 400			Système de numération grecque. Système hybride, ni purement additif, ni vraiment de position.
- 300 (env)			Système de numération romaine.	Première invention du zéro:
4^ème siècle	Numération de position à base dix en Inde. Invention du zéro. Créations de dix chiffres correspondants chacun à un symbole différent.
5^ème siècle		Numération maya de position. Invention du zéro.
10^ème siècle			Chiffres arrivant en Espagne. Partis de l'Inde, ils ont étés modifiés au Moyen-Orient et au Maghreb.
12^ème siècle			Arrivée du zéro en Europe.
1) Faire la liste des lieux et des dates où fut inventé le zéro? 2) Combien de temps s'est écoulé entre l'invention de chiffres en Inde et leur arrivée en Europe? 3) Que serait-il probablement arrivé si l'Homme possédait six doigts sur chacune des deux mains?

Dans le boulier chinois, chaque tige porte deux boules qui valent cinq (en haut) et cinq boules qui valent un (en bas).

boulier.gif (3813 octets)

Les boules rapprochées du centre sont seules comptabilisées. Ci-contre la valeur affichée est: 1 x 5 + 2 x 1 = 7.

1) Quels systèmes de numération vus précédemment utilisent, comme le boulier, deux symboles pour écrire tous les chiffres? (mis à part le zéro)

2) Faire un schéma représentant l'affichage du chiffre neuf puis du chiffre zéro.

Le boulier fonctionne comme un système de numération de position à base dix. Le chiffre indiqué à droite correspond aux unités.

3) Quel est le nombre affiché ci-dessous?

Le boulier est très pratique pour réaliser des additions ou des soustractions.

4) Réaliser les schémas du boulier affichant les nombres 386 puis 153. Enfin, en utilisant uniquement ces schémas (sans calcul) afficher le résultat de la somme 386 + 153 sur un autre schéma de boulier. (cliquer pour voir le déroulement du calcul)

Deux façons de compter sur ses dix doigts

La méthode additive

Avec la numération de position

Pour montrer la valeur 37, on peut présenter trois fois de suite ses mains avec les doigts levés, ce qui signifie 3 fois 10, puis on montre les deux mains avec sept doigts levés.

On convient alors de dire qu'un doigt baissé compte zéro, mais chaque doigt levé représente le chiffre un et compte une valeur qui dépend de sa position.
doigt_num.gif (1528 octets)

On utilise alors la base deux.

1) Que faudrait-il faire pour indiquer le nombre 245 selon la méthode ci-dessus?

2) Quelle est la valeur indiquée avec les conventions ci-dessous?

doigt_n1.gif (1147 octets)

3) Quel est le plus grand nombre qui puisse être représenté par les doigts des deux mains?

Les numérations de l'électronique et de la photonique

En électronique (courants électriques), ou en photonique (lumière), il n'existe que deux états:

Tension 1	Lumière 1
Pas de tension 0	Pas de lumière 0

On est donc amené à utiliser la base deux.
Un octet, on l'a vu dans un TP précédent, permet de compter de

soit 0

soit 255

C'est la numération idéale de l'informatique.

1) Quel est le nombre binaire dessous le plus proche de 1 million (1 000 000 en base dix)?
a) 1 0000 0000 0000 0000 0000;
b) 1 0000 0000 0000 0000;
c) 1 0000 0000 0000;
d) 1 0000 0000.
Que pensez-vous de l'écriture du nombre 1 million en base deux.

Un demi-octet, on peut le vérifier, va de zéro à quinze. On peut donc utiliser la base seize pour remplacer un demi-octet.

0	1	2	3	...	9	A	B	C	D	E	F
						dix	onze	douze	treize	quatorze	quinze

l'octet valant 255 devient donc en base seize:

1	1	1	1	1	1	1	1
F				F

Ceci permet d'écrire simplement les adresses des mémoires de l'ordinateur ou par exemple les codes des 16 millions de couleurs utilisées en informatique.